FUNCIONES ARMÓNICAS

Si la función f(z)=u(x,y)+iv(x,y) es analitica en D entonces

Se dice que u(x,y) y v(x,y), son funciones armonicas si cuumple

ECUACION DE LAPLACE


se llaman ec. de laplace en dos variables que en fisica se conoce con el nombre de ec. de potencial

 DEFINICION


Toda funcion F(z)=u(x,y)+iv(x,y), que satisfacen las ecuaciones de Laplace se laman "Funciones armonicas" y F(z)=u(x,y)+iv(x,y) es analitica, entonces u y v se llaman "conjugadas armonicas"



INTEGRACION COMPLEJA

Integraciion de funciones de variable compleja


En caso de numeros reales

En caso de numeros complejos

Las integrales de linea de los complejos se avaluan de forma similar a las integrales de linea de las funciones reales de dos variables
En el caso de los complejos existen novedades que solo se definen para los complejos, tales como las integrales de CAUCHY y derivadas de orden superior

INTEGRALES INDEFINIDAS

Se define la integral indefinida si y solo si F'(z)=f(z), es decir solo si f(z) tiene antiderivada


INTEGRALES DE LINEA

Sea P una curva representada por una z(t)=x(t)+iy(t), se dice que P es una curva suave o suave por intervalos si cumple.
x'(t)^y'(t) son cotinuas y no son simultaneamente igual a cero

CONJUNTO SIMPLEMENTE CONEXO

Una region R se llama simplemente conexo si cualquier cura simple cerrada contenida en R se puede contraer a un pnto sin salirnos de R. Una region que no es simplemente conexa se llama multiplemente conexa

Conjunto simplemente conexo

Conjunto no simplemente conexo

PROPIEDAD

Sea P una curva suave o suave por intervalos de z1 a z0 en un dominio simplemente conexo si f(z) es funcion analitica y se cumple F'(z)=f(z) , en el dominio D entonces 

CURVA SIMPLE EN D

PROPIEDAD 

Sea f(z) una funcion analitica en D, un dominio simplemente conexo y sea c una curva cerrada simple en D

 

integral de cauchy 

PROPIEDAD 

Si f(z) es analitica en un dominio simplemente conexo D, entoces la integral de linea es independiente de la trayectoria de D 

PROPIEDAD 

Teorema de la deformacion 

Sea f(z) analitica en D, excepto en Z0 y sean c y c1 curvas cerradas simples que encierran a z0

PROPIEDAD 

Si f(a) es analitica en un dominio simplemente conexo D y sea c una curva cerrada simple que encierra a (a) entonces

PROPIEDAD (Formula de cauchy para las derivadas de orden superior)

Sea f(a) analitica en un dominio simplemente conexo D, y sea a en d, entonces f(a) tiene derivadas de todos los ordenes en a y la n-esima derivada de f(a) en a es