Matemática Avanzada

Números Complejos 

Un numero Complejo es Aquel Que esta Compuesto Por Una Instancia de instancia de parte Verdadera re [z] y Otra Im [z].

Forma algebraica

Z = x + iy 

a = Parte de bienes

b = Parte imaginaria

Unidad imaginaria

Sea Z = x + iy 

Si re [z] = 0, Entonces es ONU z PURO IMAGINARIO numero Z = iy

Si im [z] = 0, entonces es z ONU Z numero VERDADERO = x

Forma rectangular

z = x + iy

Forma polar

Conjugada de Z

Sea z = x + iy La conjugaba DE ES z: x - iy

Operaciones Fundamentales

Suma - Diferencia 

- Clausurativa z1, z2 pertenece a los C

- Conmutativa z1 z2 + = + z2 z1

- Asociativa (z1 + z2) + z3 = z1 + (Z2 + Z3)

- Existencia del inverso Aditivo

Sea z1 = x + iy y z2 = -x - iy

z1 + z2 = 0   

Donde 0 ---->  cero Complejo (0 + 0i)

-Existencia del elemento neutro 

Sea z1=x + iy

(x + iy)+ z2= x + iy      --->  z2= 0 + i0   <--- Elemento neutro 

Producto 

- Clausurativa

- Conmutativa

- Asociativa 

- Existencia del inverso multiplicativo 

Sea z=x + iy   

siendo así su inverso  

Modulo o valor absoluto de "z"

División  

Sea z1=a + ib   ,    z2=c + id , entonces  

Forma trigonométrica de z

z= x + iy

z=rcos θ + i r sen  θ

z= r(cos θ + i sen θ)  ------> forma trigonométrica      

z=r cis θ

cis θ= cos θ + i sen θ

Producto 

Sea z1=r1 cis θ1    y   z2=r2 cis θ2    entonces 

z1z2 = (r 1cis θ1)(r 2cis θ2)

z1z2=r1r2cis(θ1+θ2) 

División

Sea z1=r1 cis θ1    y   z2=r2 cis θ2    entonces 

z1/z2 = (r 1cis θ1)  / (r 2cis θ2)

z1/z2=(r1/r2) cis(θ1-θ2) 

Potenciacion (teorema de Moivre)

si  z=r cis θ , entonces 

zⁿ=(r cis θ)ⁿ    n elemento de N

   

zⁿ=r ⁿcis nθ

Radicación 

Sea z =r cis θ, entonces 

z^1/n=(r cis θ)^1/n       n elemento de N

z^1/n=r^1/n  cis ( (θ+2πk)/n )        K=1,2,3, . . . , (n-1)    

FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA 

Se llama función de variable compleja a una aplicacion cuyo dimonio D y rango R son subconjuntos de C 

La notación habitual para este tipo de funciones es z=(x,y) para repesentar a un elemento de D y w=(u,v) para un elemento R 

Se desprende de la definición que u y v, partes real e imaginaria de w, son sendas funciones reales de dos variables 

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA

De esta manera puede decirse que una función de variable compleja establece una relación entre un punto z de plano Z y un punto w del plano W  

LIMITE DE VARIABLE COMPLEJA 

CONTINUIDAD 

DERIVABILIDAD

ECUACIONES DE CAUCHY RIEMANN